Si on prend un cercle, de rayon r, donc de périmetre 2 * pi * r
(vous m’aretez si je me trompe
Et d’aire pi * r^2
Et que maintenant on prends un carré de même périmetre que le cercle, soit 2 * pi * r.
Donc de coté (en divisant par 4) 1/2 * pi * r.
L’aire du carré est donc de 1/4 * pi^2 * r^2.
Je comprends deja pas pourquoi l’aire du carré et du cercle n’est pas la meme.
Je pensai qu’en prenant une forme quelqueconque, si on la deforme mais en gardant le meme perimetre, l’aire ne change pas.
Si je me pose cette question c’est parce que j’ai besoin de savoir, si on a un tuyau et qu’on le deforme (en l’ecrasant), est ce que son volume change.
Par exemple un tuyau rond, on le deforme, il devient ovale, mais est ce que son volume a changé ?
Non, l’aire ne dépend pas (uniquement) du périmètre. Pour un périmètre donné, tu as une aire maximale (qui est si je ne me trompe pas le cas du cercle), mais l’aire dépend de la forme de l’objet.
Oui, son volume change
Plus tu aplatiras le tube, plus son volume sera faible. Et une fois totalement aplati, son volume est nul (ou presque)
Exact. La figure de plus grande aire que tu peux faire avec une limitation au niveau du périmètre est un cercle. Essaie avec une ficelle, tu verras tout de suite que ça se vérifie. Et par extension, l’objet de plus grand volume que tu peux faire avec une limitation au niveau de la surface extérieure est une boule.
Pousse le raisonnement jusqu’au bout :
au lieu de prendre un carré, tu prends un rectangle, avec un petit côté de longueur x (avec x petit) et un grand côté de longueur (1/2 * pi * r - x).
Le périmètre est toujours de 2 * (x + 1/2 * pi * r - x) = pi * r.
La surface vaut x * (1/2 * pi * r - x) = x/2pir -x^2.
Quand x devient très petit, la surface tend vers 0, alors que le périmètre ne change pas => l’aire dépend bien de la forme.
Accessoirement, le cercle est la forme qui maximise l’aire pour un périmètre donné, de la même façon qu’une sphère maximise le volume pour une surface donnée.
