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Probleme DM de math

Salut à vous tous, je suis en terminale S, et la je suis bloqué sur un exo où je ne pige rien aux questions… si vous pouviez m’aider, se serait terrible…

Exercice:
Soit j = e^2iπ/3 le nombre complexe de module 1 et d’argument 2π/3. On désigne par A l’ensemble des nombres complexes de la forme a + bj, o`u a et b sont des entiers relatifs.

  1. Montrer que, pour tout élément z de A, |z|^2 est un entier.
  2. Quels sont les éléments z non nuls de A qui sont tels que 1/z soit également élément de A?

Merci beaucoup à tous…
Jimmy

π/ c’est théta ca ???

c’est “pi”

en fait ca fait “e^2pi/3”

Pour la première question, c’est assez facile :
z = a + bj
= a + b
exp(2ipi/3)
= a - b/2 + b* sqrt(3)/2 *i

Donc z² = a²-ab + b²/4+ 3/4 b²
= a²- ab+ b² qui est bien un entier

NB: sqrt représente la racine carrée

Pour la deuxième question, c’est peut être pas la meilleure solution mais bon :
1/z = 1/ (a+b exp(2ipi/3) on multiplie en haut et en bas par la valeur conjuguee et on obtient :
1/z = (a + b exp (-2ipi/3))/(a²+ab+b²)

Le numérateur peut se réecrire de la façon suivante :
a + b exp(2ipi/3) = a -b/2 -i sqrt(3)/2 b
= a- b - ( -b/2 + i sqrt(3)/2 b)
= a - b - b j

La condition devient donc
(a-b)/(a²+ab+b²) entier et
b / (a²+ab+b²) entier

pour la premiere question je veins de le faire aussi et je suis d’accord, mais ne faut-il pas démontrer que a²-ab+b² est un entier?

JE dois rouiller pas mal, mais comment tu passes d’une ligne à l’autre :heink:

exp(2ipi/3)= cos 2pi/3 + i sin 2pi/3
et pour la démonstration que c’est un entier j’ai trouvé la réponse con a ma question con…javais lu “entier naturel” et c’est entier… autant pour moi, merci à toi;)

Ah vi :stuck_out_tongue:

Ceci dit, a²-ab+b² est bien un entier naturel : c’est en entier comme somme et produit d’entiers et il est positif parce que c’est un module

merci beaucoup… es-tu baleze pour la redaction des probabilités???

Pourquoi ? tu ne veux pas que je rédige les problèmes à ta place quand même, non ?
Par contre, tu peux poser des questions si tu veux

La condition devient donc
(a-b)/(a²+ab+b²) entier et
b / (a²+ab+b²) entier

comment puis-je résoudre ca, c’est un exo de spe…